一様可積分性の判定条件 すなわちX_n?L^1一様可積分

一様可積分性の判定条件 すなわちX_n?L^1一様可積分。少し、状況が飲み込めてきました。続き Remark部分: すなわち、(X_n)?L^1一様可積分であるため、L^1の弱位相関て相対点列コンパクトであるこ必要十分である Eberlein Smulianの定理(←テキスト記載な)、Banach空間対て、弱コンパクト性弱点列コンパクト性同値なので、Dunford Pettisの定理、一様可積分性L^1おける弱相対コンパクト性同値であるこ述べている 前の定理部分、Dunford Pettisの定理演習なっていて、前ずらーっ演習並んでいる感じなって 一様可積分性の判定条件。例えば,極限と期待値の順序交換に関する[の収束定理]は,一様可積分な
確率変数列に対して成り立つ定理である.このように,確率変数列に関する一様
可積分性は「良い性質」と言える.この記事では,一様可積分性の

少し、状況が飲み込めてきました。いくつかの演習問題の総合的な結果として、?Dunford-Pettisの定理: X_n?L^1が一様可積分 ? X_n が L^1の弱位相に関して相対点列コンパクト?…①が得られた。弱コンパクト性と弱点列コンパクト性は同値なので?X_n?L^1が一様可積分 ? X_n が L^1の弱位相に関して相対コンパクト?が分かった。ということですね。Remark はそう述べているように解釈できます。さて、『X_nn≧1?L^1とする. このとき,X_nが一様可積分であるためには、ある部分列X_n_mと確率変数X∈L^1が存在して、あらゆるY∈L^∞に対して、E[YX_n_m]→E[YX]となることが必要十分であることを示せ.』…②という元の問題に戻りましょう。 ? は済んでいて、逆向きを示すことで、①が得られるわけだから、「X_n が L^1の弱位相に関して相対点列コンパクト?のもとで、X_nが一様可積分であることを示すことになりますね。その場合の仮定は「ある部分列X_n_mと確率変数X∈L^1が存在して、あらゆるY∈L^∞に対して、E[YX_n_m]→E[YX]となること」ではありません。「任意の部分列X_n_mに対し、さらなる部分列 X_n_m_j と確率変数X∈L^1が存在して、あらゆるY∈L^∞に対して、E[YX_n_m_j]→E[YX]となること」です。ややこしいので、補足しますと、L^1可積な確率変数の族 F があるとき、F がL^1の弱位相に関して相対点列コンパクトであるというのは、「任意のX_n?F に対し、ある部分列 X_n_m と X∈L^1が存在して、あらゆるY∈L^∞に対して、E[YX_n_m]→E[YX]となる」です。F が X_n そのものであるときは、「任意の部分列X_n_mに対し、さらなる部分列 X_n_m_j と確率変数X∈L^1が存在して…」という具合になります。つまり、問題文②が少し怪しいように思いますが…。

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